Friday, May 26, 2006

MATEMATICA

¿Qué es una función? Sus elementos y denotación.

Una función consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.

Ejemplo:

y = 7x + 1

y = 7(2) + 1 = 15
y = 7(4) + 1 = 29
y = 7(6) + 1 = 43

El dominio D es {2, 4, 6} y el rango R es {15, 29, 43}.

http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec3/cap3.html

“Una función, en matemáticas, es el término usado para indicar la relación o correspondencia entre dos o más cantidades. El término función fue usado por primera vez en 1637 por el matemático francés René Descartes para designar una potencia xn de la variable x.


Una función f de A en B es una relación que le hace corresponder a cada elemento x E A uno y solo un elemento y E B, llamado imagen de x por f, que se escribe y=f (x). En símbolos, f: A à BEs decir que para que una relación de un conjunto A en otro B sea función, debe cumplir dos condiciones, a saber:Todo elemento del conjunto de partida A debe tener imagen.La imagen de cada elemento x E A debe ser única. Es decir, ningún elemento del dominio puede tener más de una imagen.El conjunto formado por todos los elementos de B que son imagen de algún elemento del dominio se denomina conjunto imagen o recorrido de f.


Observaciones:En una función f: A ó B todo elemento x E A tiene una y solo una imagen y E B.Un elemento y E B puede:No ser imagen de ningún elemento x E ASer imagen de un elemento x E ASer imagen de varios elementos x E A.La relación inversa f-1 de una función f puede no ser una función.
Formas de expresión de una funciónMediante el uso de tablas:

Gráficamente: cabe aclarar que llamamos gráfica de una función real de variable real al conjunto de puntos del plano que referidos a un sistema de ejes cartesianos ortogonales tienen coordenadas [x, f (x)] donde x E A

X

Y

-1

0

½

1

2

1

0

¼

1

4

”… (1)
“Una función es una correspondencia entre conjuntos que se produce cuando cada uno de los elementos del primer conjunto se halla relacionado con un solo elemento del segundo conjunto. Estamos en presencia de una función cuando de cada elemento del primer conjunto solamente sale una única flecha.
No estamos en presencia de una función cuando:
De algún elemento del conjunto de partida no sale ninguna flecha.
De algún elemento del conjunto de partida salen dos o más flechas.
Podemos imaginarnos la función como una máquina a la que se le suministra unos datos y que obtiene un valor.

A veces esta 'máquina' no funciona con determinados valores. Al conjunto de valores de la variable para los que la función existe (para los que la 'máquina' funciona) se llama dominio de definición de la función.
Una función obtiene un valor, pero esto no quiere decir que se obtengan todos los valores que se nos antojen. El conjunto de valores que se obtienen a partir del conjunto de valores del dominio de definición se llama recorrido de la función.”…

(2)


“Una función consiste en dos conjuntos, dominio y rango, y una regla que asigna a cada miembro del dominio exactamente un miembro del rango. A cada miembro del rango debe serle asignado por lo menos un miembro del dominio. Si la relación entre dos variables x y y es una en la que para cada valor de y hay exactamente un valor de x, se dice que y es una función de x.
Ejemplo:

y = 7x + 1
y = 7(2) + 1 = 15
y = 7(4) + 1 = 29
y = 7(6) + 1 = 43

La Gráfica de una Función

Para hacer la gráfica de una función como f(x) = x + 2, lo hacemos igual que si hiciéramos la gráfica de una ecuación
y = x + 2. Buscamos los pares ordenados (x, f(x)), se localizan los puntos en la recta numérica y se conectan.
Por ejemplo:

f(x) = x + 2

Utilizando una Gráfica para Definir una Función

Una gráfica determina un conjunto de pares ordenados con números reales correspondientes a las coordenadas de los puntos en la gráfica. Este conjunto de pares ordenados, determinados por la gráfica, puede o no puede definir una función. Es importante recordar que para definir una función, el conjunto de pares ordenados debe obedecer la regla que establece que dos pares ordenados no deben tener el mismo primer elemento. Por lo tanto, una línea vertical no puede intersectar la gráfica de una función en mas de un punto.

Figuras:

La figura 1 define una función, mientrás que la figura 2 no define una función.

Los Ceros de una Función

Un cero de una función es la solución de una ecuación f(x) = 0. Los ceros de una función corresponde a los puntos en los cuales la gráfica de la función atraviesa el eje de x. Estos puntos son llamados interceptos en x.
Por ejemplo:

En la figura 1 los interceptos en x son X1, X2 y X3. La figura 2 no tiene ningún intercepto en x.


El dominio D es {2, 4, 6} y el rango R es {15, 29, 43}.”… (3)

Bibliografía:

(1) Enciclopedia Microsoft Encarta 1999Internet: www.altavista.com; www.yahoo.com.arAnálisis matemático I, Notas de Teoría y práctica; 2da edición.Enciclopedia Clarín, Tomo 20


Trabajo enviado por:Alejandro Carreirastotocho_83@ciudad.com.ar
Página Web consultada el 28 de mayo del 2006:
http://www.monografias.com/trabajos7/mafu/mafu.shtml

(2) Rincondelvago.com desde 21 de Febrero de 1.998 - SalamancaEl Rincón del Vago, S.L. - C.I.F.: B-37360278 - Condiciones de Uso - Contacto
Página Web consultada el 28 de mayo del 2006:
http://apuntes.rincondelvago.com/funciones-matematicas.html

¿Qué es un par ordenado? ¿Cómo se grafica?

Un par ordenado es una tupla ordenada de dos elementos, separados por una coma: (a, b). (Como) es ordenado, no es lo mismo (a, b) que (b, a).
Las partes de un par ordenado son:
Primer conjunto, primer componente;
Segundo conjunto, segundo componente.

Por ejemplo, con par ordenado de (a, b) se comprende que:

a es el primer componente del primer conjunto;
b es el segundo componente del segundo conjunto.

Por ejemplo:

El par ordenado (4, 5) es igual al par ordenado (4, 5).

Los números en un par ordenado son llamados coordenadas. En el par (7, 5) la primera coordenada es 7 y la segunda es 5.

¿Qué es el eje de coordenadas?

Los ejes de coordenadas tienen como origen el punto de referencia, y sirven para determinar la dirección y el sentido del cuerpo en movimiento.

Cuando el objeto se mueve en línea recta, solo necesitamos un eje. Cuando se mueve por un plano hacen falta dos ejes. Para movimentos en el espacio se utilizan tres ejes. Los ejes de coordenadas más utilizados son los usuales en las matemáticas, llamados (x,y,z), donde el eje x és horizontal, positivo hacia la derecha y negativo hacia la izquierda; el eje y es vertical, positivo hacia arriba y negativo hacia abajo; y el eje z mide la profundidad, positivo cuando se acerca y negativo cuando se aleja.

¿Qué es una relación?

El concepto de relación implica la idea de correspondencia entre los elementos de dos conjuntos que forman parejas ordenadas.
Cuando se formula una expresión que liga dos o más objetos entre sí, postulamos una relación (no necesariamente matemática)

Por ejemplo:
Samuel es padre de Irma.

(Samuel, Irma)


Del ejemplo anterior podríamos decir matemáticamente que:

S ---> I


Podemos definir la relación como la correspondencia que hay entre TODOS o ALGUNOS del primer conjunto con UNO o MÁS del segundo conjunto.

Véase también:


Correspondencia matemática
Relación de equivalencia
Relación de orden
Relación binaria
Relación n-aria


http://es.wikipedia.org/wiki/Relación_matemática"

¿Qué formas hay de representar una relación o una función?

Hemos visto cómo las funciones, sean del tipo que sean, suelen admitir una expresión del tipo y = f(x).

Hemos visto también que es especialmente interesante (pues facilita la obtención de información) que la expresión f(x) sea de tipo matemático.

Hasta ahora hemos trabajado con expresiones simples como por ejemplo:



Por otra parte en las funciones del tipo y=f(x), la relación entre ambas variables x e y está claramente determinada. Por ese motivo la expresión y=f(x) recibe el nombre de forma explícita de la función.

Sin embargo, en algunas ocasiones la relación entre las variables de la función no viene expresada de una forma tan clara sino a través de una ecuación que las liga, como por ejemplo:

Modos de representación

Existen distintas formas de representar una función lógica, entre las que podemos destacar las siguientes:

  • Algebraica
  • Por tabla de verdad
  • Numérica
  • Gráfica

El uso de una u otra, como veremos, dependerá de las necesidades concretas en cada caso.

Algebraica

Se utiliza cuando se realizan operaciones algebraicas. A continuación se ofrece un ejemplo con distintas formas en las que se puede expresar algebraicamente una misma función de tres variables.

a) F = [(A + BC’)’ + ABC]’ + AB’C
b) F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’
c) F = (A + B + C)(A + B + C’)(A + B’ + C’)(A’ + B’ + C’)
d) F = BC’ + AB’
e) F = (A + B)(B’ + C’)
f) F = [(BC’)’ · (AB’)’]’
g) F = [(A + B)’ + (B’ + C’)’]’

La expresión a) puede proceder de un problema lógico planteado o del paso de unas especificaciones a lenguaje algebraico. Las formas b) y c) reciben el nombre expresiones canónicas de suma de productos (sum-of-products, SOP, en inglés), la b), y de productos de sumas (product-of-sums, POS, en inglés), la c); su característica principal es la aparición de cada una de las variables (A, B y C) en cada uno de los sumandos o productos. Las d) y e) son funciones simplificadas, esto es, reducidas a su mínima expresión. Las dos últimas expresiones tienen la particularidad de que exclusivamente utiliza funciones NO-Y, la f), o funciones NO-O, la g).

Por tabla de verdad

Una tabla de verdad contiene todos los valores posibles de una función lógica dependiendo del valor de sus variables. El número de combinaciones posibles para una función de n variables vendrá dado por 2n.

Una función lógica puede representarse algebraicamente de distintas formas como acabamos de ver, pero sólo tiene una tabla de verdad. La siguiente tabla corresponde a la función lógica del punto anterior.

ABCF
0
0
0
0
0
0
1
0
0
1
0
1
0
1
1
0
1
0
0
1
1
0
1
1
1
1
0
1
1
1
1
0

La forma más cómodo para ver la equivalencia entre una tabla de verdad y una expresión algebraica es cuando esta última se da en su forma canónica. Así, la función canónica de suma de productos

F = A’BC’ + AB’C’ + AB’C + ABC’

nos indica que será 1 cuando lo sea uno de sus sumandos, lo que significa que tendrá por lo tanto cuatro combinaciones que lo serán (010 para A’BC’, 100 para AB’C’, 101 para AB’C y 110 para ABC’) siendo el resto de combiaciones 0. Con la función canónica de producto de susmas se puede razonar de forma análoga, pero en este caso observando que la función será 0 cuando lo sea uno de sus productos.

También es fácil obtener la tabla de verdad a partir de la función simplificada, pero no así a la inversa.

Numérica

La representación numérica es una forma simplificada de representar las expresiones canónicas. Si consideramos el criterio de sustituir una variable sin negar por un 1 y una negada por un 0, podremos representar el término, ya sea una suma o un producto, por un número decimal equivalente al valor binario de la combinación. Por ejemplo, los siguientes términos canónicos se representarán del siguiente modo (observe que se toma el orden de A a D como de mayor a menor peso):

AB’CD = 10112 = 1110
A’ + B + C’ + D’ = 01002 = 410

Para representar una función canónica en suma de productos utilizaremos el símbolo Σn (sigma) y en producto de sumas Πn (pi), donde n indicará el número de variables. Así, la representación numérica correspondiente a la tabla de verdad del punto anterior quedará como:

F = Σ3(2, 4, 5, 6) = Π3(0, 4, 6, 7)

Matemáticamente se demuestra, que para todo término i de una función, se cumple la siguiente ecuación:

F = [Σn(i)]' = Πn(2n-1-i )

A modo de ejemplo se puede utilizar esta igualdad para obtener el producto de sumas a partir de la suma de productos del ejemplo anterior:

F = Σ3(2, 4, 5, 6) = [Σ3(2, 4, 5, 6)]' ' = [Σ3(0, 1, 3, 7)]' = Π3(0, 4, 6, 7)

Gráfica

La representación gráfica es la que se utiliza en circuitos y esquemas electrónicos. En la siguiente figura se representan gráficamente dos funciones algebraicas, una con símbolos no normalizados, superior, y la otra con normalizados, inferior (véanse los símbolos de las puertas lógicas)

Representación gráfica de dos funciones lógicas
Representación gráfica de dos funciones lógicas

Métodos de simplificación

Por simplificación de una función lógica se entiende la obtención de su mínima expresión. A la hora de implementar físicamente una función lógica se suele simplificar para reducir así la compejidad del circuiuto.

A continuación se indican los modos más usuales de simplificar una función lógica.

PAGINAS VISTADAS:

http://descartes.cnice.mecd.es/Bach_HCS_1/Funciones_formas_de_expresar/especiales.htm

Explica si la función es una relación o ésta es una función.

Explica qué es dominio y rango de una función y cómo determinarlos.

El dominio de definición de una función es el conjunto de existencia de la misma, o sea los valores para los cuales la función está definida. Dicho de otra forma, si el conjunto de existencia es vacío entonces no existe la función.

Dadas dos funciones f y g con dominios A y B entonces:

  1. (f+g)(x) = f(x) + g(x) Dominio = A ∩ B
  2. (f-g)(x) = f(x) - g(x) Dominio = A ∩ B
  3. (f·g)(x) = f(x) · g(x) Dominio = A ∩ B
  4. (f/g)(x) = f(x) / g(x) Dominio = {x ∈ A ∩ B ∧ g(x) ≠ 0}

El conjunto de valores que se obtienen a partir del dominio de definición se lo denomina recorrido de la función.

EDIT:

Por si aun no entiendes el tema, se le dice "Dominio" a todos los valores que una función puede tomar, es decir todas aquellas "x2 para las cuales la funci'on esta definida, a su vez, el Rango son todos aquellas "y" que son resultado del dominio.

Recuerda que f(x) es "y".

Algunos Dominios:

f(x) = x2 Este tipo de función siempre tendra su dominio en todos los reales (- , +). f(x) = 1 / x Esta función esta definida para todas las x diferentes de 0, o cualquier valor que ocacione que x se vuelva 0


¿Qué es la regla de correspondencia en una función?

Una función de A en B, es una regla de correspondencia que asocia a cada elemento x de A un único elemento y de B.

Se usan indistintamente los símbolos:

ó

para expresar que "f" es una función de A en B y que además, al elemento x de A, le corresponde el elemento y (imagen de x mediante f) de B.

Una regla de correspondencia nos indica el criterio con el cual se eligen las parejas de elementos del dominio y contradominio.

Este criterio puede estar dado de modo de extensión (indicando las condiciones que deben de cumplir los elementos) o bien puede estar dado por medio de una ecuación.

C= {(x , y) "y" es el doble de "x" y "x" å R}* o y = 2x


*Se lee "el conjunto C está formado por las parejas (x, y) donde "y" es dos veces el valor "x" y además "x" es un elemento del conjunto de números reales.

http://entren.dgsca.unam.mx/ModMat/mm07.html

Funciones de las reglas de correspondencia.

1) Definen términos teóricos.

2) Garantizan el significado cognitivo de los términos teóricos

3) Especifican los procedimientos admisibles para aplicar la teoría a los fenómenos.

Ejemplo de funcionamiento de las reglas de correspondencia:

Una regla de correspondencia define "masa" (término teórico) como el resultado de realizar medidas (M) a un objeto en determinadas circunstancias (S). M y S son los resultados observacionales. La Regla de Correspondencia especifica un procedimiento empírico para determinar masa. Se da una definición del término en función de este procedimiento y lo hace de tal modo que garantiza su significado cognitivo.

http://es.geocities.com/soloapuntes/cuarto/fc1/t12sfc1.html

Detalla y define cada una de las clases de funciones.

FUNCIÓN LINEAL

Toda función de la forma , en donde , son constantes, o también ,es una función lineal y su repesentación grafica es una linea recta, y lo que también podemos afirmar es que cuando nosotros deseamos conocer la pendiente de la recta lo que tendremos que hacer sera ver al numero que acompaña la x.

FUNCIÓN CONSTANTE

Toda función de forma , donde c es una constante, recibe el nombre de función constante. Esta función tiene la característica de que a todo numero real x del dominio, le asigna un mismo valor.

FUNCIÓN VALOR ABSOLUTO

La función , se llama función valor absoluto, y tiene la caracteristica que la gráfica divide al primero y al segundo cuadrante.

FUNCIÓN PARTE ENTERA

La función , para , llamada función parte entera, función escalonada o función mayor entero, tiene como dominio el conjunto R y el rango lo conforman todos los enteros.

FUNCIÓN COMPUESTA

La definición indica que al calcular (f o g)(x), primero se aplica la función g a x, y después la función f a g(x) El dominio de f o g es el conjunto de todos los numeros x en el dominio de g, tales que g(x) se encuentre en el dominio de f.

Determina por lo menos cinco aplicaciones prácticas de las funciones

.

-Las funciones son de mucho valor y utilidad para resolver problemas de la vida diaria, problemas de finanzas, de economía, de estadística, de ingeniería, de medicina, de química y física, de astronomía, de geología, y de cualquier área social donde haya que relacionar variables.

-El estudio de las funciones cuadráticas, como por ejemplo: la trayectoria de una pelota lanzada al aire, la trayectoria que describe un río al caer desde lo alto de una montaña, la forma que toma una cuerda floja sobre la cual se desplaza un equilibrista, el recorrido desde el origen, con respecto al tiempo transcurrido, cuando una partícula es lanzada con una velocidad inicial.

-Se puede aplicar en muchas situaciones, por ejemplo en economía (uso de la oferta y la demanda) los ecónomos se basan en la linealidad de esta función y las leyes de la oferta y la demanda son dos de las relaciones fundamentales en cualquier análisis económico. Por ejemplo, si un consumidor desea adquirir cualquier producto, este depende del precio en que el artículo esté disponible.

-Generalmente se hace uso de las funciones reales, (aún cuando el ser humano no se da cuenta), en el manejo de cifras numéricas en correspondencia con otra, debido a que se está usando subconjuntos de los números reales.

-Muchas son las aplicaciones de la función lineal en el caso de la medicina. Ciertas situaciones requieren del uso de ecuaciones lineales para el entendimiento de ciertos fenómenos. Un ejemplo es el resultado del experimento psicológico de Stenberg, sobre recuperación de información.

Describe y analiza las funciones lineales

Una función es lineal cuando cumple todas estas propiedades: * Si aplicamos una entrada u1(x) obtenemos una salida particular y1(x)* Si aplicamos una entrada u2(x) obtenemos una salida particular y2(x)* Entonces si aplicamos u3(x)=c1u1(x)+c2u2(x) obtenemos una salida y3(x)=c1y1(x)+c2y2(x) para todos los pares de entradas u1(x) y u2(x) y para todos los pares de constantes c1 y c2.


es.wikipedia.org/wiki/Función_lineal

La función Lineal la escribimos de la forma: y = mx+n donde m y n son valores reales. Un función lineal es una recta o sea un polinomio de grado uno.

Sin embargo una Función No lineal: son las llamadas funciones polinómicas y las funciones donde sus incógnitas están afectadas por una potencia o por una función trigonométrica, exponencial o logarítmica.

¿Cómo graficar una función lineal?

Grafiquemos en un par de ejes cartesianos una función lineal

Elegimos dos puntos cualquiera, en este caso (1, 4) y (7, 6). Marcándolos en el gráfico, trazamos una línea punteada desde cada punto hasta sus coordenadas x e y. Así quedará determinado un triángulo rectángulo. Al punto más alejado del centro lo llamaremos (x1; y1); al otro lo llamaremos (xo; yo). Completemos según las coordenadas que elegidas:

xo = 1, yo = 4, x1 = 7, y1 = 6

¿Cómo explicaríamos la pendiente de una función lineal?


"La pendiente es la inclinación de una recta. Una forma de calcular la pendiente de una recta usando la siguiente fórmula. Dado dos puntos (x1, y1), (x2, y2), que están en una recta. La inclinación o la pendiente “m” de la recta de determina mediante
“m = y2 - y1x2 - x1”

Ejemplo1:
Buscar la pendiente de los puntos (2,4) y (3,6)
y2 - y1 = 6 - 4 = 2 = 2 x2 - x1 3 - 2 1La pendiente es 2".

Enuncia cinco aplicaciones de la función lineal o de primer grado.

A un vendedor de libros le prometen pagar 100 soles semanales fijos, pero también le dicen que por cada libro vendido le darán 25 soles de comisión. Aquí podemos utilizar funciones para determinar cuánto le pagarán al vendedor si es vende varios libros.

Si se contrata a una persona para que venda periódicos, revistas y se le promete que se le pagará diez soles diarios fijos y 5 soles por cada revista vendida y queremos saber cuánto va a ganar la persona en un día o más; podemos aplicar las funciones lineales.

También podemos usarlo para determinar el proceso que nos lleve a la construcción de la función matemática que rige en la contaminación ambiental

Aplicaríamos las funciones lineales o de primer grado si es que de repente somos negociantes y diariamente vamos a comprar al mercado, y queremos obtener la relación que existe entre el precio al que compramos los productos y el precio al que lo venderemos para obtener una buena ganancia. De esta manera podremos saber si es que nos conviene o no ese tipo de negocios.

Otro ejemplo en el que podemos utilizar las funciones lineales, es en el caso de que si queremos construir una casa; necesitamos conocer la relación que existe entre el cemento, el agua y la arena

¿Qué es una función cuadrática?

Una función cuadrática es aquella que puede escribirse de la forma:

f(x) = ax2 + bx + c
donde a, b y c son números reales cualesquiera y a distinto de cero.

Si representamos "todos" los puntos (x,f(x)) de una función cuadrática, obtenemos siempre una curva llamada parábola.

Como ejemplo, ahí tienes la representación gráfica de dos funciones cuadráticas muy sencillas:

Describe y analiza las funciones cuadráticas en los casos que se presentan

Decimos que una función es cuadrática si se puede expresar de la forma

f(x)= ax2+bx+c

donde a, b y c son constantes y a # 0


La gráfica de una función cuadrática es una parábola y su dominio es el conjunto de los números reales.


Si
a>0, se dice que la parábola es positiva y, en este caso, abre hacia arriba. Si a<0, la parábola es negativa y abre hacia abajo.



A continuación se muestran tres funciones cuadráticas con sus respectivas gráficas y una lista de algunas de las parejas ordenadas que pertenecen a dichas funciones cuadráticas.

f(x)= x2 - 5x + 4

f(x)= - x2 - 5x + 4

f(x)= - 2x2 - 5x + 4

¿Cómo determinar los interceptos con los ejes y el vértice en una función cuadrática?

Para determinar los interceptos se debe saber que estos se scan de la funcion cuadratica

x2 x – 12

x - 4

x 3

Acontinuacion procedemops ha separar cada una convirtiendolas en ecuaciones separadas:

x-4= 0 x-3=0

Una vez resolvemos esto podemos saber cual es el intercepto

Vértice:

V=(h;k)

h=-b/2a
h=-6/2(1)
h=-3

y=(-3)2+6(-3)
y=9-18
y=-9

V=(h;k)

¿Qué es regresión lineal?

La regresión es un método de análisis de los datos de la realidad económica que sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables.

La regresión es un método de análisis de los datos de la realidad económica que sirve para poner en evidencia las relaciones que existen entre diversas variables.

regresion1.gif (1748 bytes)

¿Cuáles son los pasos para determinar la función a partir de un conjunto de puntos?

Los pasos a seguir para determinar una función a partir de un conjunto de puntos son:

* Primero debemos graficar los datos, por ejemplo en un diagrama sagital para ver si es que se trata de una función o una relación.

*Luego podemos representarlo gráficamente par saber de que clase de función se trata (Lineal, cuadrática, etc.)

RELACIÓN

Fundamenta con 5 problemas el tema de regresión lineal